1．2 数学作为一门科学的教学
数学教学一个很重要的方面是应该强调数学教学是一门科学的教学。从这样角度思考问题，作为一门科学的教学，就要求我们在数学教学中重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性，揭示数学理论是怎样从现实世界中得到并不断发展；作为一门科学的教学，数学教学就必须重视数学知识体系的系统性与逻辑性；作为一门科学的教学，就必须重视数学在实践中巨大作用的教学，并重视数学探究活动过程的教学。下面着重就中学数学课程系统性问题作一探讨。
我国中学数学教育一直比较重视数学课程的系统性，根据一些重要的数学教学调查和国际数学教育比较的结论，长期以来我国中小学生数学成绩好的主要原因中首先就是我国中小学数学教学内容的系统性较强⑵。怎样使我国中学数学课程更加具有系统性，是我国中学数学教育应该研究的一个重要问题。数学各个分支学科之间有广泛的联系，并具有学科内在统一性，但不可否认，数学不同分支具有各自不同的研究对象、各自的分支体系。高等学校数学系的数学专业课程总是按照学科分支课程的形式呈现。初等数学中不同学科分支也具有一定的系统性，我国数学教育实践经验告诉我们，数学内容以分科形式呈现能够比较清楚地把蕴涵的思想方法表达出来，学生也容易比较系统、深刻地学到数学基础知识基本技能和其中蕴含的思想方法，更好地加以掌握和运用。回顾我国数学教育的历史，为我国中学数学教育界称道的一些中学数学教材也多釆取分科教学，并达到了较高的教学水平。良好的学科课程体系结构是学生有良好认知结构的基础。目前，高中数学新课程的实施给我国的高中数学教学带来了许多可喜的变化，高中数学课程大大拓宽了中学数学视野，教材内容的广度和深度都有了极大改观，一些传统内容的处理让人看到新的理念，高中数学课程釆用了模块化的结构设置，使教学更加具有灵活性。但另一方面，由于每个模块课时的确定性，使教学内容的选择与安排受到模块课时的限制，导致某些联系很密切的教学内容被安排到了不同的模块，而同一模块中教学内容又未必联系很密切，教学安排的逻辑脉络不够清楚，对于不同必修模块的教学顺序不作规定，就使实际教学产生一些困难，目前，对于这个问题老师们作了大量的研究，但仍没有太好的办法。根据教材试验，教材的模块化设计(尤其是必修模块仍用模块化设计的必要性问题)和系统性问题成为老师们研究最多、反映较多、意见也较多的一个问题，某些教学内容结构体系的变化导致了学生相关数学能力的下降。例如，相当数量的老师认为立体几何中点线面的空间基本关系应该先讲，几何体的体积、面积计算问题应该移到立体几何的后部，有些老师对于立体几何的有关直线、平面位置关系的教学顺序作了调整，老师们希望教材更加有系统性。
中学数学传统教学内容中如初等代数（含三角函数）、立体几何、解析几何和概率统计的基础知识是高中学生应该掌握的数学基础知识，这些内容应该作为高中数学的必修内容，按这些内容本身的逻辑体系安排这些学科分支的教材内容，并应考虑教学内容之间的互相联系，而必修内容则不必再设置模块，而是按照过去大纲教材一样按学期确定教学内容。在确定了必修内容以后的其他内容，如微积分的初步知识及目前的一些选修模块的教学内容，则可作为选修课程。这样，既保证了课程的灵活性和选择性，又兼顾了数学课程的必要的逻辑性和系统性，而教学内容的学分可根据相应教学内容的分量等因素加以确定。应该充分考虑数学教学内容之间的内在逻辑和联系，构建合理的知识体系，要充分考虑继承经过长时间教学试验的、已经比较成熟的体系结构。目前高中数学新课程试验中老师们在实际教学中对各部分内容的教学顺序作了许多研究，并作了部分调整(在一定程度上参考了传统的教学内容安排顺序)。例如一些教学对比实验发现，教学安排先讲映射后讲函数，学生对函数概念的理解要好一些，这说明概念的不同安排顺序必然会对学生掌握有关概念产生影响。当然，在对于内容体系结构作慎重选择后，对于内容的呈现还必须符合时代发展需要。
作为一门科学的教学，数学教学必须重视数学基本概念的教学，因为数学概念是数学理论的基本组成部分。要掌握数学理论，首先要弄清基本概念。对概念定义的叙述要釆取慎重的态度，如果没有充分的理由和实质性的改进，则不宜更新表述，而应该考虑我国数学教学传统的因素，避免引起不必要的混乱。另外，应该注意概念体系的完整性。在新高中数学课程的试验中，有相当比例的老师反映，新课标实验教材中反函数概念讲得不够完整，应该完整讲述反函数的定义域、值域、对应关系等，现在概念没有讲清，学生就常对于概念提出许多问题。另外，传统中学数学教学中反三角函数的最基本的内容，包括基本的概念和性质、定理、公式仍是数学的基础知识，也仍应该列入中学数学的教学内容。要掌握数学理论，首先要弄清基本概念。中学数学教学中以下的概念是极其重要的：集合、映射、运算、函数、方程、向量、概率、抽样、统计、概率，复数、导数、积分、极限，等等。作为一门科学的教学，数学教学还必须重视数学科学中丰富蕴涵的科学思想和方法（其中某些一般科学方法），包括抽象、公理化、演绎、归纳、符号、算法、数形结合、坐标、变换、优化、统计、随机，等等。
1．3 量化思想
从数量关系角度来研究事物，使我们对于事物有数量上的把握，这就是基本的数量意识。量是事物存在和发展的规模、程度、速度，以及事物构成因素在空间上的排列等可以用数量表示的规定性。例如，物体的大小、质量的疏密、运动的快慢、温度的高低、颜色的深浅、物体的排列顺序、生产力的发展水平和配置等等，都是事物的量的规定性。质是和量相对应的一个基本范畴，任何事物都是质和量两方面的统一。数学研究的一个重要方面就是现实世界的数量关系，凡是要研究量、量的关系、量的变化，量的关系的变化、量的变化的关系，就少不了数学。不仅如此，量的变化还有变化（如导数以及导数的导数），变化仍用量刻画。对于客观世界的描述大致可以分为定性的描述和定量的描述，而定性描述与定量描述又密不可分。数学研究的最基本的问题是现实世界客观存在的事物的多与少、大与小、位置及位置的变化、可能性大小，等等，这样就产生了数以及表示数的字母，刻画位置的坐标，刻画可能性的概率，以及进一步的方程、不等式、函数、曲线的方程和方程的曲线、随机变量及其概率的分布、分布的函数，等等。解析几何的基本思想是引入坐标系从而借助于坐标对于几何对象作定量的研究，概率论则首先引入随机变量，借助于随机变量对随机现象作量化的处理，从而达到对于随机现象的研究。数学总是从量的方面来描述客观世界的，把客观事物进行量化的描述是数学的基本任务。所以，新高中数学课程提出了量化思想，这应该作为一种重要数学思想在教学中加以认识和重视。
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